Капитализация процентов что

Периодичность начисления дохода

Выше в формулах мы рассмотрели вариант, когда доходность начисляется 1 раз в год. Кроме ежегодной капитализации бывает:

  • ежемесячная,
  • ежеквартальная,
  • ежедневная.

Формула расчета немного поменяет свой вид:

Появляется буква n – это периодичность начисления дохода.

При ежемесячном начислении n = 12, ежеквартальном n = 4, ежедневном n = 365 или 366.

Давайте сравним действие “снежного кома” при разной периодичности. Оставим наши первоначальные условия.

Срок вклада Сумма на счете, руб.
% 1 раз в год % 1 раз в квартал % 1 раз в месяц
1 год 10 500 10 509,45 10 511,62
2 года 11 025 11 044,86 11 049,41
3 года 11 576,25 11 607,55 11 614,72

Как мы видим, чем чаще начисляются проценты, тем выше наша доходность. Отличия кажутся очень незначительными, но еще раз повторю, что на эффективность влияют 4 фактора:

  1. Первоначальная величина депозита.
  2. Процентная ставка.
  3. Срок накопления.
  4. Периодичность начисления дохода.

При увеличении любой составляющей эффект станет более внушительный. Для иллюстрации составим аналогичную таблицу, но изменим условия:

  • первоначальная сумма – 1 000 000 руб.,
  • срок – 5 лет,
  • ставка – 7 % годовых.

Срок в годах Сумма на счете, руб.
% 1 раз в год % 1 раз в квартал % 1 раз в месяц
1 1 070 000 1 071 859 1 072 290
2 1 144 985 1 148 972 1 149 897
3 1 225 043 1 231 439 1 232 925
4 1 310 796 1 319 929 1 322 053
5 1 402 552 1 414 777 1 417 624

Представленная формула расчета применяется к любой периодичности, в том числе и к ежедневной. Но, изучив предложения банков, я не нашла таких условий. При необходимости расчеты теперь вы можете сделать и самостоятельно.

Альтернатива вкладу – процент на остаток

Хочу зайти немного с другой стороны к рассматриваемому вопросу и разобрать альтернативу банковскому вкладу – дебетовую карту. Я поделюсь своим личным опытом ее использования.

Нам потребовалось разложить деньги по разным счетам с целью накопления на свои цели. В результате анализа банковских предложений по определенным критериям мы остановились на таких вариантах:

  1. Депозит “Ренессанс Накопительный” в одноименном банке.

Условия: ставка 6,75 % годовых с ежемесячным начислением дохода, возможностью пополнения, но без расходных операций. Срок депозита – 1 год, в течение которого ставка не меняется. При этом мы ежемесячно его пополняем, но не снимаем деньги.

  1. Дебетовая карта того же банка с начислением процента на остаток.

Условия: бесплатное обслуживание при остатке не менее 30 000 руб. и ежемесячное начисление дохода в размере 7,25 %. Получается, что, если не проводить операции по карте, то каждый месяц доход начисляется и на первоначальную сумму, и на ранее начисленные проценты. И размер дохода значительно больше, чем по вкладу.

Так как и вклад, и карта открывались с целью накопить, то расходные операции мы не совершали. Пополнение на оба продукта регулярно проводили каждый месяц. При таких исходных данных плюсы дебетовой карты для нас очевидны:

  • возможность пополнения и снятия при необходимости без каких-либо штрафных санкций,
  • больший доход, чем по депозиту,
  • карта всегда под рукой, можно воспользоваться в любой день недели и время суток.

Но есть и минус: процент на остаток по счету может в любой момент измениться.

Предложений по дебетовым картам с начислением процента на остаток не так много, но они есть.

Плюсы и минусы капитализации

Несмотря на очевидные достоинства капитализации, которые проявляются в первую очередь в более высокой доходности по сравнению с обычным начислением процентов, у нее есть и минусы:

  • Как правило, банк ограничивает мобильность средств. То есть вы не можете распоряжаться своими деньгами в течение срока действия договора. Конечно, вам не откажут, когда вы заявите, что закрываете счет и снимаете все деньги. Но получите вы далеко не ту сумму, на которую рассчитывали, когда открывали счет. Не во всех банках можно снимать деньги без потери всего или части дохода.

Например, если вы решите закрыть досрочно вклад “Сохраняй” в Сбербанке (100 000 руб. на 1 год), то на руки получите на 2 862,61 руб. меньше.

  • Банки часто назначают более низкую ставку по депозитам с капитализацией. Поэтому очень важно просчитывать эффективную ставку и сравнивать ее по нескольким предложениям в разных банках.
  • Заметный эффект от капитализации проявляется только в долгосрочном периоде. Поэтому, если вы уверены, что в ближайшие несколько лет вам не понадобится много денег, открывайте депозит с капитализацией. Если нет – присмотритесь к обычному вкладу, но с возможностью снятия.

Банки иногда предлагают выбрать вариант использования начисленного дохода: оставить на счете или снять наличными (перевести на карту, счет). Если по вкладу вы выберете “снимать проценты”, то никакой капитализации и вовсе не будет. Ведь вы оставляете на своем счете только сумму первоначальных вложений.

В конце статьи давайте пропишем с вами алгоритм выбора депозита с капитализацией:

  1. Определяем цель открытия вклада: сбережение, краткосрочное или долгосрочное накопление, получение пассивного дохода.
  2. Определяем условия: с возможностью пополнения, частичного снятия или без, первоначальную сумму, срок и процентную ставку.
  3. Выбираем несколько банков, наиболее отвечающих нашим критериям.
  4. Рассчитываем по каждому предложению эффективную ставку и делаем окончательный выбор.

Не забываем проанализировать и дебетовые карты с процентом на остаток. Этот вариант для сильных духом людей, потому что соблазн все потратить может победить желание копить. Но, если есть конкретная цель, то у соблазнов нет никаких шансов. Согласны?

МСФО, Дипифр

Если вы храните деньги в банках, то, наверняка, задавались вопросами:

  • Как сравнить предложения разных банков в отношении % ставок по вкладам?
  • Как рассчитать будущую стоимость вклада с процентами?
  • Что такое капитализация вклада и капитализация процентов?
  • Формула для расчета непрерывного наращения — максимальный доход

Рассчитать свой потенциальный доход по вкладу можно самостоятельно, не полагаясь на калькуляторы дохода, которые размещены на сайтах банковских учреждений. В основу этих калькуляторов заложены формулы финансовой математики, и нет большой сложности в том, чтобы воспользоваться этими формулами самостоятельно. Если вы знаете формулы наращения и умеете их применять, то вы всегда сможете проверить чужие расчеты.

В этой статье я покажу на конкретных примерах, как рассчитать доход по вкладу с капитализацией процентов (ежеквартальной, ежемесячной) и как рассчитать эффективную ставку по вкладам с капитализацией.

Наращение — простой пример расчета суммы вклада с процентами

Наращение — это увеличение стоимости денег в будущем за счет начисления процентов. Те, кто хранит деньги в банках, как раз и пользуются процессом наращения вклада для увеличения своих накоплений. В самом простом случае начисление процентов происходит раз в год. Через год вы закрываете вклад и забираете всю сумму вместе с процентами.

Формула расчета суммы вклада (формула наращения) для случая, когда проценты по вкладу начисляются раз в год проста для понимания: FV = PV * (1+R)n

Здесь FV — будущая стоимость, PV — текущая стоимость (сколько положите на депозит), R — процентная ставка в долях от 1 (10%=0.10), n — число лет (число периодов начисления процентов). Данные обозначения происходят от английских слов:

  • Future Value — будущая стоимость
  • Present Value — сегодняшняя стоимость
  • Rate — ставка
  • Number — номер

Например, если вы положите 30,000 на депозит в банке под 8% годовых, и проценты будут начисляться раз в год в конце срока депозита, то сумма вашем депозите, которую вы сможете снять через год, будет равна:

32,400 = 30,000 * (1+0,08)1

То есть ваш доход за год будет равен 2,400 рублей. Это самый простейший случай банковского депозита. Но бывают и другие варианты.

Банки сейчас предлагают множество разных вкладов с разными условиями. Есть вклады с возможностью дополнительных взносов денежных средств, с возможностью расходования средств в пределах неснижаемого остатка или снятие только начисленных процентов. Разные ставки для разных сумм вкладов, и наконец, вклады с капитализацией процентов — для многих, не знакомых близко с финансовой математикой (а таких людей большинство), все эти банковские продукты, как тёмный лес. Приходится полагаться на слова сотрудника банка, у которого часто нет времени, чтобы подробно объяснять разницу между разными видами вкладов. Но в вопросах личных сбережений лучше полагаться всё-таки только на себя. Надеюсь, что данная статья прояснит для вас множество вопросов, а конкретные примеры покажут, что делать с информацией, размещенной на Интернет-порталах российских банков.

Капитализация вклада — что это?

Капитализация вклада – это добавление начисленных процентов к сумме вклада. В результате этого в последующие периоды происходит начисление процентов и на вклад и на эти проценты, и вклад растёт быстрее. Этот процесс еще называют капитализацией процентов. Термин «сложный процент по вкладу» означает тоже самое — начисление процентов на проценты и рост вклада с большей скоростью.

Многие банки предлагают депозиты с капитализацией вклада (=процентов). Капитализация процентов может быть полугодовой (редко), ежеквартальной, ежемесячной (наиболее часто).

Есть один тонкий момент: банки обязаны начислять проценты по вкладу каждый день, и расчет процентов по вкладу делается с точностью до дня. Но капитализация вклада (то есть добавление процентов к основной сумме вклада, на которую потом снова начисляются проценты) происходит в зависимости от того, что прописано в вашем договоре с банком. Выбирая вид вклада, обращайте внимание на слово «капитализация». Чем чаще происходит капитализация вклада, тем быстрее он будет расти. Ежедневную капитализацию российские банки не предлагают, самый выгодный при прочих равных условиях вариант — это договор банковского вклада с ежемесячной капитализацией.

Математически капитализация процентов может быть и ежеминутной, ежесекундной. Формулы финансовой математики позволяют рассчитать сумму дохода и при непрерывной капитализации. Тогда вы узнаете предельную сумму дохода, которую можно получить при заданной процентной ставке. Кроме того, я приведу формулу, по которой можно рассчитать эффективную процентную ставку по вкладу. Она понадобится, чтобы сравнить предложения разных банков между собой. А заодно, зная эту формулу, можно будет проверить и разобраться в тех процентных ставках, которые приводят банки в описаниях предложения по вкладам на своих сайтах.

Вернемся к первому примеру с депозитом в 30,000 рублей. Если вы снимете начисленные проценты, и пролонгируете вклад, то в конце следующего года вы снова получите 2,400 рублей годового дохода.

Но если банк предложит капитализацию процентов, то доход будет больше. Допустим, банк делает годовую капитализацию процентов. То есть через год вы не станете снимать накопленные проценты, банк добавит их к основной сумме вклада и будет в следующем году начислять процентный доход на большую сумму.

Сумму процентного дохода при годовой капитализации можно рассчитать по той же самой формуле: FV = PV * (1+R)n

Вклад 30,000 ставка 8%. При годовой капитализации вклада за два года сумма вклада увеличится до: 30,000*(1,08)(1,08) = 34,992, а доход составит 4,992.

через три года на вкладе будет: 30,000*(1,08)(1,08)(1,08) = 37,791.36, соответственно доход за три года 7,791.36.

Тот же самый результат можно получить, если воспользоваться таблицей коэффициентов наращения. В ней заранее посчитаны коэффициенты для определенного процента и периода времени (R и n). Если посмотреть в колонку 8% и строку 3 года, то коэффициент наращения равен: 1,2597. ((1,08)3 = 1,08*1,08*1,08 = 1,2597). 30,000*1,2597 = 37,791.

Наглядно видно, что капитализация вклада приводит к большему доходу по вкладу. Без капитализации процентов доход за три года был бы равен 2,400*3 = 7,200. А при годовой капитализации мы сможем заработать дополнительно 7,791.36-7,200 = 591,36 денег.

Наращение вклада при полугодовом и более частом начислении процентов

Давайте посмотрим, как быстро будет расти вклад, если капитализация вклада будет производиться чаще. Раз в полгода, раз в квартал, раз в месяц, раз в день.

Чему будет равна сумма нашего вклада, если проценты будут начисляться два раза в год? Если номинальная годовая процентная ставка равна 8%, то каждые полгода банк будет начислять 4% на величину вклада. За три года таких начислений будет 6, а не 3 как при ежегодном начислении.

30,000*(1,04)6 = 30,000*(1,04)*(1,04)*(1,04)*(1,04)*(1,04)*(1,04)=37,959

37,959 > 37,791, т.е. при более частом начислении процентов сумма вклада растет быстрее. Что и понятно, потому что проценты будут чаще начисляться на проценты.

Общая формула, которая описывает наращение при частом начислении процентов, выглядит так:

FV = PV * (1+r/m)mn,

где:

r — номинальная годовая ставка процента,
m — количество периодов начисления процентов (при полугодовом начислении m=2, при начислении процентов раз в квартал m=4, при ежемесячном начислении m=12),
n — количество лет

Например, если годовая ставка равна 8%, а проценты начисляются каждый месяц, то за год сумма вклада вырастет до:

30,000* (1+0,08/12)12*1 = 30,000*(1,0067)12= 32,490

за три года:

30,000* (1+0,08/12)12*3 = 30,000*(1,0067)36= 38,106

То есть при ежемесячной капитализации вклада доход за три года составит 8,106, что больше чем:

  • при полугодовой капитализации 7,959
  • при годовой капитализации 7,791 и
  • без капитализации 7,200

Можно продолжить и сделать расчет при ежедневном начислении процентов (обратите внимание на цифру 365 в формуле):

30,000*(1+0,08/365)365*3=30,000*(1,00022)1095=38,136.48

Непрерывная капитализация процентов

  • Доход без капитализации 2,400*3 года = 7,200; вклад с % 37,200
  • Годовая капитализация 30,000*(1+0,08/1)1*3=30,000*(1,08)3=37,791
  • Полугодовая капитализация 30,000*(1+0,08/2)2*3=30,000*(1,04)6=37,959
  • Ежемесячная капитализация 30,000*(1+0,08/12)12*3=30,000*(1,0067)36=38,106
  • Ежедневная капитализация 30,000*(1+0,08/365)365*3=30,000*(1,00022)1095=38,136.48

Приведенные выше формулы показывают расчет величины вклада через 3 года при ставке 8% с капитализацией вклада с разной периодичностью. Наглядно видно, что чем чаще происходит капитализация процентов, тем больше будет доход. А что будет, если начисление процентов будет непрерывным (каждый час, каждую минуту, каждую секунду)?

Есть и такая формула (непрерывной капитализации):

FV = PV * (e)r*n

где e=2,7183 (експонента), r — номинальная ставка процента, n- количество лет.

Если рассчитать сумму вклада под 8% годовых на 3 года при непрерывном наращении процентов, то сумма будет равна:

30,000*2,71830,08*3=30,000*2,7183*0,24 =38,137.47

38,137.47 — это максимальная сумма, которую можно накопить от 30,000 при ставке 8% за 3 года при непрерывном наращении.

Как видно из расчетов, разница между ежедневным и непрерывным начислениями практически незаметна при такой сумме и ставке процента. Да собственно говоря, разница между ежемесячным и ежедневным начислением так же практически никакая. Вероятно поэтому, вкладов с более частой капитализацией процентов, чем раз в месяц, и нет на рынке банковских услуг. А вот разница в доходе между вкладами без капитализации и вкладами с капитализацией заметна даже при сумме 30,000. Поэтому если цель — накопить побольше, то нужно выбирать вклады с ежемесячной капитализацией процентов.

Эффективная процентная ставка по вкладу

Для того, чтобы сравнить предложения разных банков по вкладам с капитализацией и без, придётся привести их к одному знаменателю. Поскольку капитализация вклада влияет на сумму дохода, надо рассчитать так называемую эффективную ставку процента для каждого вклада с капитализацией. Например, при депозите в сумме 30,000 рублей и ежемесячной капитализации 8% годовых за год (а раньше мы считали за 3 года!) мы накопим:

30,000*(1+0,08/12)12*1=30,000*(1,0067)12=32,490

Какая должна быть ставка процента, чтобы получить такой же доход, но без капитализации вклада?

32,490/30,000 = 1,083 или 8,3%

Так вот 8,3% — это и есть эфффективная годовая процентная ставка по вкладу с ежемесячной капитализацией процентов. Если вклад без капитализации будет иметь ставку процента выше, чем 8,3%, то, значит, он будет выгодней, чем вклад под 8% годовых с ежемесячной капитализацией. Рассчитывая эффективные процентные ставки по вкладам с капитализацией процентов, можно сравнить их доходность с вкладами без капитализации.

То есть эффективная процентная ставка по вкладу — это такая ставка, которая дает равнозначный доход по такому же вкладу без капитализации процентов.

Эффективная процентная ставка (8,3%) всегда выше номинальной годовой ставки по вкладу (8%).

Эффективная годовая ставка рассчитывается по формуле:

(1+R/m)m — 1, где m — количество периодов капитализации. Например, для номинальной (без капитализации) годовой ставки 8%:

  • Полугодовая капитализация (m=2): (1+R/m)m — 1 = (1+0,08/2)2 — 1 = 0,0816 или 8,16%
  • Ежеквартальная капитализация (m=4): (1+R/m)m — 1 = (1+0,08/4)4 — 1 = 0,0824 или 8,24%
  • Ежемесячная капитализация (m=12): (1+R/m)m — 1 = (1+0,08/12)12 — 1 = 0,083 или 8,30%

Расчет эффективных ставок так же, как и расчет дохода, показывает, что более частая капитализация процентов даёт более высокий доход по вкладу.

Анализ предложений банков по вкладам

Невозможно проанализировать все предложения по вкладам, я сделаю небольшую выборку. Возьму только самые крупные российские банки (по размеру активов), вклад 30,000 без снятия процентов. Рассчитаю эффективные процентные ставки для вкладов с капитализацией и сравню их со ставками без капитализации.

Газпромбанк

Самая простая структура предложений по вкладам у Газпромбанка (3-е место по размеру активов).

Название

Ставка

Допвзносы

Снятие

Капитализация

Суммы от

Срочный плюс

6,50

нет

нет

нет

1,000

Перспективный

6,80

нет

нет

нет

15,000

Прогрессивный

6,70

нет

нет

нет

15,000

Рантье плюс

6,30

нет

нет

ежемесячно

10,000

Оптимальный

5,65

да

да

нет

20,000

В таблице приведены не все типы вкладов Газпромбанка, поскольку цель написания данной статьи не в рекламе банковских продуктов. Цель статьи — научиться анализировать эти продукты и выбирать из них наиболее доходный вариант, не полагаясь на информацию самих банков. Для получения полной информации можно зайти на сайт Газпромбанка.

Ежемесячная капитализация у Газпромбанка есть только по вкладу «Рантье плюс». Номинальная ставка по такому вкладу равна 6,30%, а эффективная ставка при ежемесячной капитализации составит (m=12):

(1+R/m)m — 1 = (1+0,063/12)12 — 1 = 0,06485 или 6,49%

Банк на своем сайте указывает эффективную ставку по этому вкладу 6,49%. Наши расчёты сошлись, значит, мы получим именно такой доход.

Россельхозбанк

Процентные ставки и прочие условия по вкладам взяты с сайта Россельхозбанка (банк №5 по размеру активов) на данный момент (конец апреля 2014 года) для вклада суммой 30,000 рублей сроком на 1 год. К сожалению, из информации на этом сайте не очень понятно, какие ставки указаны — номинальные или эффективные. Можно предположить, что это все-таки номинальные ставки, тогда эффективные можно рассчитать самостоятельно.

Название

Ставка

Допвзносы

Снятие

Капитализация

Суммы от

Классический

7,65

нет

нет

нет

3,000

Накопительный

7,00

да

нет

нет или ежемесячно*

3,000

Управляемый плюс

7,20

да

возможно, при условиях

нет

15,000

Золотая пенсия

7,20

да

нет

ежемесячно

1,000

Детский

7,40

да

да

ежемесячно

3,000

*Для вклада «накопительный» проценты капитализируются ежемесячно или перечисляются на счет по выбору вкладчика. Если они перечисляются на отдельный счет, значит, на них потом не будут начисляться проценты. Конечно же, надо выбирать капитализацию вклада в данном случае, потому что доход будет выше.

Эффективные процентные ставки по данным вкладам:

  • «накопительный»: (1+0,07/12)12 — 1 = 0,0723 или 7,23%
  • «золотая пенсия»: (1+0,0720/12)12 — 1 = 0,0744 или 7,44%
  • «детский»: (1+0,0740/12)12 — 1 = 0,0765 или 7,65%

По сравнению с Газпромбанком % доход по вкладу в Россельхозбанке заметно выше.

Банк Москвы

Банк Москвы (6-й российский банк по размеру активов) предлагает линейку вкладов с капитализацией процентов. По некоторым из них у вкладчиков есть выбор: либо капитализировать проценты, либо перечислять из на банковскую карту с возможностью снятия в любой момент. Конечно, первый вариант принесет больший доход.

Название

Ставка

Допвзносы

Снятие

Капитализация*

Суммы от

Максимальный доход

7,60/7,87

нет

в размере %

нет или ежемесячно

1,000

Максимальный рост

6,00/6,17

да

да, до неснижаемого остатка

нет или ежемесячно

1,000

Новый пенсионный

6,10

да

в размере %

нет

1,000

Максимальный комфорт

5,15/5,27

да

да, до неснижаемого остатка

нет или ежемесячно

1,000

* по выбору вкладчика проценты могут перечисляться на карточный счет и будут доступны для снятия в любое время. Но тогда капитализации вклада не будет. Ставка доходности по вкладу будет ниже. Она указана первой во второй колонке.

Вторая ставка во второй колонке — эффективная ставка по информации на сайте банка. Интересно будет ее проверить.

  • «максимальный доход»: (1+0,076/12)12 — 1 = 0,0787 или 7,87%
  • «максимальный рост»: (1+0,06/12)12 — 1 = 0,0617 или 6,17%
  • «максимальный комфорт»: (1+0,0515/12)12 — 1 = 0,0527 или 5,27%

Можно продолжать анализ предложений по вкладам и у других банков. Скажем, у Альфа-банка все депозиты с ежемесячной капитализацией процентов, насколько я смогла разобраться. При этом не приводятся номинальные ставки, так что проверить их расчеты не получится. Надеюсь, что информация из этой статьи поможет вам лучше понимать, что банки предлагают вам в обмен на ваши деньги.

Формула сложного процента на других сайтах

На многочисленных сайтах, рассказывающих о капитализации процентов, обычно приводится вот такая формула сложного процента:

n, где

  • r — ставка процента в виде цифры 8%
  • j — количество дней в периоде капитализации (30 или 31 день для ежемесячной капитализации, 91 день для ежеквартальной, 182 дня для полугодовой),
  • K — количество дней в календарном году (365 или 366 дней)
  • n — количество периодов капитализации

Если внимательно присмотреться, то это та же самая формула. Например, для полугодовой капитализации она примет вид:

2 = (1+0,08/2)2
поскольку 8%/100 = 0,08 и 182/365 = 1/2 (примерно)

Еще одно замечание. Если вы хотите увеличить свои накопления с помощью вкладов в банке, свой выбор основывайте не только на обещанной банком доходности (эффективной ставке процента). В России важно быть уверенным, что банк будет работать продолжительное время в будущем. Выбирайте крупные, надежные банки, крупнее даже, чем Мастер-банк. Иначе вы рискуете остаться без своих сбережений. В одной из будущих публикаций я попробую разобрать, как работают мошеннические схемы по выводу активов (ваших денег) из банка. Собственно говоря, некоторые банки для того и создаются, чтобы собрать деньги с вкладчиков, вывести их в подконтрольные фирмы, объявить о банкротстве банка и «смыться» в другую страну. Потому что другие страны дают гражданство людям с миллионами долларов, не разбираясь, каким образом эти миллионы были «заработаны».

Человек всегда верит в чудо. Особенно, когда нажимает на банкомате кнопку «запрос баланса».

В вопросах накопления собственных денег лучше понимать досконально, что происходит, а не полагаться на чужие слова. «Не спрашивайте у продавца энциклопедий, нужна ли вам энциклопедия!» Перефразируя это изречение в отношении банковских услуг, можно сказать: «Не спрашивайте у банковского сотрудника, насколько выгодно для вас размещение денежных средств в банке, где работает этот сотрудник. Лучше рассчитайте свой доход самостоятельно!»

Вы можете прочитать другие статьи на тему финансовой математики:

1. Понятие, формула дисконтирования. Таблица дисконтирования — как ей пользоваться для расчета дисконтированной стоимости
Данная статья доступным языком рассказывает о том, что такое дисконтирование. На простых примерах в ней показана техника расчета дисконтированной стоимости. Вы узнаете, что такое фактор дисконтирования и научитесь пользоваться таблицами коэффициентов дисконтирования.

2. Формула аннуитета. Вечная рента. Это надо знать каждому! (не для банкиров)
Вечная рента — это серия одинаковых платежей, которые продолжаются вечно. Такой вариант возможен, если, например, у вас есть вклад в банке, вы снимаете только ежегодные проценты, а основная сумма вклада остается нетронутой. Тогда, если ставка процента по вкладу не меняется, у вас будет так называемая вечная рента.

3. Эффективная процентная ставка по кредиту — пример расчета
Ничего не стоит обмануть потребителя, поэтому информация часто подвергается искажению. Так поступают банки, пользуясь финансовой неграмотностью населения, чтобы впарить этому населению кредиты по заоблачным процентным ставкам. Единственный способ не быть обманутым при взаимодействии с банками — это научиться считать эффективную процентную ставку как по кредитам, так и по вкладам.

Вернуться на главную страницу

Пример

Хорошей иллюстрацией является известная евангельская притча о том, как одна бедная вдова во времена Иисуса Христа принесла в жертву в храм последнее, что у неё было — две самых мелких монеты, лепты. Если представить себе, что в то время существовали банки, и она внесла бы одну монетку в банк, то какая сумма накопилась бы на банковском счёте к сегодняшнему дню, учитывая, что банк обеспечивает капитализацию процентов в сумме, скажем, пять процентов годовых?

Последующие расчёты как раз и иллюстрируют применение сложных процентов. Нам легче будет говорить, не о лепте, а о копейке. Если ставка составляет 5 % годовых, то после первого года хранения капитал составил бы копейку плюс 5 % от неё, то есть возрос бы в (1 + 0,05) раза. На второй год 5 % рассчитывались бы уже не от одной копейки, а от величины, большей её в (1 + 0,05) раза. И, в свою очередь, данная величина увеличилась бы тоже за год в (1 + 0,05) раза. Значит, по сравнению с первичной суммой вклад за два года возрос бы в ( 1 + 0 , 05 ) 2 {\displaystyle (1+0,05)^{2}} раз. За три года — в ( 1 + 0 , 05 ) 3 {\displaystyle (1+0,05)^{3}} раз.

К 2016 году первичный вклад вырос бы до величины в ( 1 + 0 , 05 ) 2016 {\displaystyle (1+0,05)^{2016}} раз больше первоначальной. Величина ( 1 + 0 , 05 ) 2016 {\displaystyle (1+0,05)^{2016}} составляет 5 , 22 ⋅ 10 42 {\displaystyle 5,22\cdot 10^{42}} . При первоначальном вкладе в одну копейку к 2012 году сумма составит 5 , 22 ⋅ 10 40 {\displaystyle 5,22\cdot 10^{40}} рублей, т.е. свыше 52 додециллионов.

Первоначальная идея применения к старинной притче оценок в сложных процентах принадлежит польскому математику Станиславу Ковалю и опубликована им в начале семидесятых годов в книге «500 математичных загадок».

Точная формула для оплаты ежемесячно

Точная формула для ежемесячного платежа

C = P r / ( 1 − 1 / ( 1 + r ) n ) {\displaystyle C=Pr/(1-1/(1+r)^{n})}

с = ежемесячный платеж P = начальная сумма r = ежемесячная процентная ставка n = количество периодов выплат

Периодическое начисление

Функция суммы сложных процентов является экспоненциальной функцией с точки зрения времени.

P ( t ) = P 0 ( 1 + r n ) n t {\displaystyle P(t)=P_{0}(1+{r \over n})^{nt}}

t = Общее время в годax

n = число периодов наращения в год

г = Номинальная годовая процентная ставка выражается в виде десятичной дроби. 6 т.д .:% = 0,06

nt = означает, что nt округляется до ближайшего целого числа.

Непрерывное начисление

Пределом ( 1 + r n ) n t {\displaystyle (1+{r \over n})^{nt}} при n → ∞ {\displaystyle n\rightarrow \infty } является e r t {\displaystyle e^{rt}} (см. E (число)), таким образом, для непрерывного начисления, формула принимает вид:

P ( t ) = P 0 e r t {\displaystyle P(t)=P_{0}e^{rt}}

> Мнения

Известный американский инвестор Уоррен Баффет считал сложные проценты неотъемлемой частью любой стратегии долгосрочного инвестирования.

Курс доллара и евро сейчас и на завтра

Капитализация процентов – это способ расчета процентов по вкладу, при котором сумма вклада сначала увеличивается на уже начисленные проценты, а затем от полученной суммы считается процент за очередной период. В народе это называют «проценты на проценты», в финансах – «сложные проценты».

Часто банковские вклады не предполагают капитализацию процентов. В этом случае начисление процента выглядит следующим образом. Например, вы положили в банк 100 000 руб. под 12% годовых и получаете процент ежемесячно. В случае с простым процентом это будет 1000 руб. (100 000 х 0,12/12 мес.) за 1-й месяц, 1000 руб. за 2-й месяц и так далее. Т.е. каждый месяц по 1000 руб. Обычно по условиям вклада эта сумма зачисляется вам на текущий счет или пластиковую карту, и вы можете сразу ее потратить.

Если условиями вклада предусмотрена капитализация процентов, то начисление выглядит следующим образом:
1-й месяц: 100000 х 0,12/12 = 1000 руб.
2-й месяц: (100000+1000) х 0,12/12 = 1010 руб.
3-й месяц: (100000+1000+1010) х 0,12/12 = 1020,1 руб.
4-й месяц: (100000+1000+1010+1020,1) х 0,12/12 = 1030,3 руб.
и т.д.
В примере показана ежемесячная капитализация процентов, но бывает капитализация раз в квартал или раз в год (зависит от условий конкретного депозитного договора).

Формула капитализации процентов (сложный процент)
Ваш вклад в конце срока = (1 + П / 100)N, где
П – процент начисляемый за период, за который производится капитализация (месяц, квартал, год).
N – количество таких периодов в общем сроке вклада.
Обратите внимание, у банков принято указывать годовой процент (независимо от срока вклада). Например, если вы выбрали вклад под 12% годовых с ежеквартальной капитализацией процентов на срок 6 месяцев, то в указанной формуле П=0,03% (12%/4 мес./100), а N=2.
Как мы видим, при капитализации начисленные проценты прибавляются к сумме вклада и уже с новой суммы рассчитывается очередной процент. В этом случае, разумеется, вклад будет приносить больше, чем при простом начислении процентов, без капитализации. Минус в том, что снимать проценты ежемесячно в этом случае нельзя.

Какой вклад выбрать, с капитализацией процентов или без
Часто банки по одному и тому же вкладу указывают два варианта начисления процентов: без капитализации и с капитализацией. При этом сумму процентов банки всегда указывают за год и видно, что годовой процент с капитализацией получается выше, чем без капитализации. Соответственно, вкладчик решает, нужно ли ему снимать проценты каждый месяц или пусть они приносят дополнительный доход, присоединяясь к сумме вклада. Решение зависит исключительно от ваших финансовых обстоятельств.

Оставьте комментарий