Точка бифуркации

На прошедшем 38-м кинофестивале ВГИК фильм собрал массу призов. Помимо наград, присуждаемых в основных номинациях, картина получила новый приз «Перспектива» и скоро отправится на кинофестиваль CSAR в Венецию.

Розыгрыш или жизнь

Герои фильма преодолевают свою «точку бифуркации» (состояние, при котором человек кардинально меняет свои взгляды, не возвращаясь к прошлым привычным действиям). А началось все с безобидного для компании приятелей розыгрыша. Друзья решили похитить одного из знакомых: силой затолкав в машину, они вывезли его в лес. Им практически удалось осуществить задуманное. Но жертва розыгрыша смогла вырваться и в ужасе от происходящего скрылась в лесу.

После неудачной шутки с похищением друга компания молодых людей оказалась в отделении полиции. Парень, которого они хотели разыграть, был объявлен в розыск. Найдут его живым или нет — от этого зависела дальнейшая судьба «похитителей».

По словам актера Константина Маховикова, который сыграл одну из главных ролей в фильме, выпускник ВГИКа режиссер Леонид Гардаш (мастерская Владимира Хотиненко) решил создать картину, основанную на реальной истории из его жизни.

«Режиссер фильма — любитель розыгрышей. Однажды он стал организатором подобного похищения, но там обошлось без милиции, — рассказал Константин Маховиков. — Тогда тоже заставили жертву копать себе яму в лесу, но он стал отбиваться лопатой, перебил себе пальцы, покалечился, пару недель провел в больнице. И до сих пор некоторые пальцы у него не двигаются. Естественно, сейчас они уже не общаются».

По словам продюсера картины Анны Соколовой, на создание фильма ушло около года. «Снимали и в лесу, в мороз, и в павильонах, — рассказывает продюсер. — Сложно было собрать всех актеров и подстроиться под плотный график каждого».

Что касается сюжета, то, по мнению Анны, розыгрыш сам по себе смешной со стороны, но, если такое происходит в реальности с тобой или твоим другом, — это страшно.

Точка бифуркации — точка невозврата

Порой наши поступки приводят к неожиданным и катастрофическим последствиям. Теория хаоса предполагает, что точка бифуркации — это такое состояние системы, когда самое малое воздействие может привести к кардинальной смене установившегося режима работы. В жизни человека это точка перелома, которая в корне меняет его судьбу.

При этом после реальной истории у режиссера, по словам Константина Маховикова, не было той самой точки бифуркации. Возможно, его шутки стали менее жесткими, но разыгрывать он не прекратил.

«Вообще, как по мне, так это довольно смешной розыгрыш, но никто не застрахован от случайностей, — считает актер. — Но, если бы со мной такая ситуация приключилась, я бы, наверное, жестко отбивался».

Участники дискуссии предположили, что, возможно, у молодого поколения подобные розыгрыши в порядке вещей. И мало кто готов ответить потом за свои проступки, если что-то пойдет не так. Это подтверждает в фильме и полицейский, который ведет дело.

«Возможно, это такой молодежный язык, который им понятен. Даже если тебя жестко разыграли, ты не будешь обижаться на своих друзей. Ценности и моральные устои немного другие. Все хорошо, ребята, двигаемся дальше», — говорит актриса Дарья Жовнер.

Конфликт поколений

В картине отлично виден конфликт поколений. На слова о безответственности молодые люди в диалоге с капитаном полиции осуждают его за все, что произошло в 1990-е годы, за коррупцию в стране и желание посадить невинных людей, хотя автор короткометражки явно хотел вызвать доверие и сострадание зрителей к сотруднику правоохранительных органов. Герой пытается оправдаться перед молодежью: «Я 25 лет честно проработал в органах».

Как считает Дарья Жовнер, проблема в людях и во времени, в котором они живут. У советских людей, как капитан полиции, были свои идеалы, которые, возможно, не оправдались, у молодежи, в свою очередь, уже сложились стереотипы о предыдущем поколении. По мнению зрителей, у нас принято винить во всех бедах страны именно старшее поколение, хотя многие из них честно выполняли свой долг, как этот полицейский. Однако в новые стандарты времени это уже не вписывается.

«Точка бифуркации» открывает проект показов фильмов молодых кинематографистов в киноклубе «Благосферы».

Клуб «Социальное кино» центра «Благосфера» — место встречи тех, кто любит смотреть и обсуждать актуальное качественное кино и проблемы, которое оно поднимает. В дискуссиях после показов принимают участие режиссеры, продюсеры, актеры и герои обсуждаемых фильмов, а также представители общественных организаций, помогающие решать проблемы, с которыми сталкиваются герои фильмов.

Другой кросс-пост с моего основного технического блога.
Вообще-то, наверняка вы все это и так знаете, но чтобы не перегружать будущие статьи мне нужна просто ссылка на обьяснение. Так что попрошу пуристов не беспокоиться и дать мне обьяснить тем, кто этого еще не знает, может и не очень точно, но зато просто и «на пальцах», что такое точки бифуркации и с чем их едят.<o:p></o:p>
Начнем? Итак, все вы наверняка слышали проблему буриданова осла. Осел стоит возле двух совершенно одинаковых кучек сена на совершенно одинаковом расстоянии от осла справа и слева. Вопрос: как осел может выбрать одну из них? Ответ упомянутого Буридана был что осел помрет с голоду.<o:p></o:p>
Теперь давайте взглянем на эту картинку в воображении. Вот осел. Вот сено. Осел не в силах выбрать кучку и утомленный интеллектуальным усилием задремал. Одиночный фотон прорвался сквозь полуприкрытое ослиное веко и влетел с колбочку на сетчатке ослиного глаза, возбудив зрительный нерв. Нерв передал сигнал нейрону в ослином мозгу, и ослу приснился восхитительный (или ужасный, не имеет значения) сон, заставивший осла развернуться во сне. Когда осел проснулся, кучки уже оказались на разном расстоянии и вообще он видел перед мордой только одну, которую он и сьел. Вероятно, что потом он развернулся и сьел другую, но для нашего разговора это не имеет значения. А имеет значение то, что совершенно микроскопическое явление (в этом примере – на квантовом уровне, единичный фотон) в данной ситуации привело к изменению макромира – определило какая кучка сена сьедена первой.<o:p></o:p>
Вот это и есть точка бифуркации. Точка бифуркации это состояние системы, когда очень маленькое воздействие приводит к глобальным изменениям. В духе, «взмах крыла бабочки привел к урагану в Калифорнии». Кстати, «эффект бабочки» — это как раз о точках бифуркации.<o:p></o:p>
Осел между двумя равными кучками сена – это точка бифуркации. Витязь на распутье – это точка бифуркации. Ромул и Рем, всматривающиеся в небо в ожидании знака, на каком холме строить город – это точка бифуркации. Космический аппарат, летящий ровно в центре гравитации между Землей и Луной и не имеющий достаточно скорости, чтоб уйти от обеих, находится в точке бифуркации. Он станет или спутником Земли, или спутником Луны. Какой из них зависит от микроскопических воздействий вроде солнечного ветра или ударившего в спутник микрометеорита.<o:p></o:p>
Точки бифуркации есть не только в природе. Их полно, например, в экономике и политике. На фондовом или валютном рынке уровни поддержки или сопротивления являются точками бифуркации. Ценная бумага или валюта, достигшии их, сорвутся вниз или пойдут наверх в зависимости от очень незначительных факторов. Доверие потребителей очень часто проходит точки бифуркации, в которых одного хорошего или плохого известия достаточно, чтобы сохранить статус кво или привести к исходу к конкуренту в библейских пропорциях. Август 91-го был точкой бифуркации для СССР, в которую, надо признать, его постарались загнать в течении нескольких лет начиная с 1985-го. Выборы президента в США в 2000-м были точкой бифуркации. Не возьмись Верховный Суд голосовать за американцев, мы бы жили сейчас в сильно другом мире.<o:p></o:p>
Есть ситуации, когда точки бифуркации обильны и часты. Например, в потоках газов и жидкостей. Именно поэтому мы до сих пор не умеем предсказывать погоду. Скажем, шторм решительно надвигается на берег, а потом вдруг сворачивает на 90 градусов и уходит в океан, почему? Бабочка взмахнула крыльями в Шанхае… Кстати, валюты и ценные бумаги не зря имеют такое качество как «ликвидность», ситуация с точками бифуркации на биржах не так далека от ситуаций в аэрогидродинамике.<o:p></o:p>
Надеюсь, мне удалось обьяснить это понятие, поскольку мне придется ссылаться на него в грядущих статьях. На том пока и закончу.
Ну, и напоследок, обычная неформальная часть. Сегодня опять залез на тот любимый трейл и сделал фото городка Иссаквы поздней осенью:

А еще наконец собрался отсканировать салфетку с рисунком на темы карьеры в корпоративном мире, которую я нарисовал обьясняя предмет одному знакомому (вообще-то, предполагалось, что из арки справа вылезает изможденный человечек на всех четырех, который только что достиг блаженной цели — повышения по службе… и с изумлением смотрит на арку впереди него. Но времени в разговоре на это не хватило, пришлось просто сказать устно):

Лучше всего выполняются те просьбы, которые звучат вовремя, когда их можно выполнить по ходу жизни, естественно и легко. Просьба выбросить пакет с мусором неуместна, когда ребенок уже разделся, придя с улицы; она лучше звучит, когда он еще не разделся; и выполняется естественно, когда ребенок оделся и собрался идти на улицу. Правило нужного момента — совершенно волшебное правило, которое делает наше общение разумным и эффективным.

Например, нужно приучить ребенка, чтобы он, выходя на улицу, выключал за собой свет в прихожей (брал мобильник, или говорил, когда вернется). Мы ему говорим, а он забывает. Мы ему снова говорим, он забывает снова. Сколько ни ругайся, эффективность наших действий или низкая, или никакая. И что делать? — Вспомнить незнакомое слово «бифуркация».

«Точка бифуркации» — понятие из технического словаря и обозначает раздвоение: краткий момент, когда система непредсказуемым образом может изменить режим работы то ли в одну, то ли в другую сторону, после чего возврата к прошлому уже нет. Ситуация станет или одной, или другой. Применительно к психологии — это момент, когда человек легко может что-то сделать, либо не сделать; сделать одно — либо сделать другое.

Когда человек в этой точке, малейшее подталкивание в нужную сторону дает нужный эффект. Когда этот момент пропущен — все, проехали, точка невозврата пройдена: можно только ругаться, но нужного результата уже не будет.

Так вот, возвращаясь к тому, чтобы ребенок выключал за собою свет в прихожей. Вопрос: когда мы поднимаем с ребенком эту тему? Обычно мы начинаем об этом разговор, когда ребенок пришел с улицы, то есть тогда, когда он ничего уже реально сделать не может. Это значит — не вовремя, точки бифуркации здесь нет.

Проехали…

Нужно действовать по другому. А именно, важно не полениться и оказаться рядом со своим ребенком в тот момент, когда он в прихожей и собирается на выход. В момент его сборов спокойно спросите, когда вернется, подскажите про мобильник и, поцеловав, попросите за собой выключить свет. Все, вы покидаете прихожую, ребенок выключает свет и уходит гулять. Он все сделал и сделает с удовольствием, и, если вы и далее будете поступать таким же образом, скоро это войдет у него в привычку.

Основная трудность — организовать себя. Помнить про то, что мы хотим добиться. Впрочем, здесь есть одно полезное обстоятельство: столкнувшись с тем, как мы забываем свои собственные намерения, мы будем с большим пониманием относиться к тому, что ребенок забывает о наших просьбах тоже.

Аналогично, муж пошел на рынок, принес лук — плохой. Вялый, мокрый, еще какой. Стандартная реакция жены — сказать, чтобы он лук в том месте больше не покупал, потому что лук он принес неважнецкий.

Жена на мужа не ругалась, она сказала все спокойно и честно, но муж за свою работу получил отрицательное подкрепление. А к следующему разу о просьбе жены он, скорее всего, уже забудет, снова принесет что-то не то, и жена начнет уже сердиться. Или обижаться на его невнимание.

Более мудро и ответственно — поблагодарить мужа за покупку, поцеловать и заняться делами. Но про лук запомнить. И в следующий раз, когда он соберется на рынок, дать ему предельно четкие инструкции, к кому ему ходить или на что ему смотреть, когда он будет лук выбирать.

Да, об этом нужно ей помнить. Да, работа «помнить» — это тоже работа, и чаще всего эту работу мы стараемся скинуть на другого. Но если мы хотим результат и хорошие отношения, эту работу нам нужно взять на себя. Наверное, это просто справедливо: ведь это МЫ чего-то хотим от наших близких, значит, нам и нужно об этом помнить. Старинное правило: «Тебе нужно — ты и делай!»

Пишет Аня, мудрая жена: «Если мужу надо сделать по дому что-то крупное, я вначале с ним обсуждаю надобность этого дела. А потом — напоминаю об этом тогда, когда появляется свободное время, которое он сам еще «не оприходовал». Например, надо было сделать подвеску для телевизора на кухне, чтоб он место в комнате не занимал, все равно его не смотрим. Тихо, спокойно держу себе в уме, что это надо сделать. Как только у мужа организовался свободный выходной — совместная поездка с друзьями сорвалась, тут я и объявилась с напоминанием: «А ты хотел еще и телевизор перенести». Все сделано — быстро, хорошо с удовольствием и без пиления…»

Уважаемые мужчины, солить или не солить кашу — этот вопрос решается в тот момент, когда жена стоит у плиты с ложкой и кастрюлькой. Когда кашу она уже посолила, уже поздно, уже всё. А за час до этого момента — слишком рано, она уже сто раз все забудет… Запомните, все ваши замечательные пожелания следует обнародовать близким только в нужную минуту. Когда еще не пройдена точка невозвращения. Только тогда, когда надо.

Напишите напоминалку и повесьте в то месте, где вы будете, когда эту инструкцию вам будет полезно вспомнить.

Теория бифуркаций проявляется повсеместно в естествознании. Дифференциальные уравнения, описывающие реальные физические системы, всегда содержат параметры, точные значения которых, не известны. Если уравнение, моделирующее физическую систему, оказывается структурно неустойчивым, то есть поведении его решении может качественно измениться при сколь угодно малом изменении правой части, то необходимо определить, какие бифуркации фазового портрета происходят при изменении параметров

Весьма важным и продуктивным понятием естествознания является понятие динамической системы. Под динамической системой понимают математическую модель того или иного реального процесса, обладающую следующими свойствами. Во-первых, должен быть известен некоторый набор величин, который однозначно задает состояние системы. Во-вторых, должен быть известен закон, по которому можно однозначно определить состояние системы в любой момент времени, если известно ее начальное состояние. Это понятие является очень широким и поэтому примеры динамических систем можно найти практически во всех областях физики, биологии, химии и т.д.

Поведение динамической системы, в частности, установившиеся с течением времени режимы, могут зависеть от некоторых параметров. Оказывается, что при медленном изменении параметра могут происходить качественные перестройки установившихся режимов. Изучение таких перестроек при вариации параметров в динамических системах (причем, не только в отображениях, но и в дифференциальных уравнениях) составляет предмет теории бифуркаций. Она выявляет типичные бифуркации, изучает и классифицирует их. Теория бифуркаций является математической наукой.

Слово «бифуркация» означает «раздвоение» и употребляет как название любого скачкообразного изменения, происходящего при плавном изменении параметров в любо системе: динамической, экологической и т. д. Статья посвящена бифуркациям нелинейных динамических систем.

Часто при моделировании физических процессов часть переменных, изменения которых незначительны в рамках моделируемых процессов, принимают константами. В результате получается система более низкого порядка, чем исходная, но учесть влияние изменения членов, принятых за постоянные, становится невозможно. В этом случае члены можно рассматривать, как возмущения и описывать модель средствами теории бифуркаций.

Бифуркации допускают определенную классификацию. Во-первых, по минимальной величине размерности системы, для которой возможна данная бифуркация. А, во-вторых, по минимальному количеству параметров, необходимых для данного типа перестройки.

Бифуркации имеют фундаментальное значение при исследовании поведения динамических систем. Часто именно бифуркации определяют механизм возникновения многих сложных процессов. Остановимся на некоторых основных положениях теории бифуркации.

Пусть нелинейная модель автономной системы, представленная ДУ

\begin{equation} {dx \over dt} = F(x,\lambda) \end{equation}

характеризуется изменением параметра \( \lambda\). В реальной системе таким параметром может быть температура, давление, концентрация, коэффициент роста популяции и т. д. Следует подчеркнуть, что изучению подлежит не конкретная модель с фиксированным параметром, а семейство динамических моделей, поведение которых зависит от \(\lambda\).

При некотором значении параметра, называемым критическим значением, процессы в системе претерпевают качественное изменение. В этом случае структура (топология) разбиения фазового пространства (фазовой плоскости при размерности 2) на траектории также качественно изменяется. Такое свойство нелинейной системы принято называть бифуркацией (от латинского слова bifurcus – раздвоенный), а варьируемый параметр \(\lambda\), при котором наблюдается бифуркация – бифуркационным параметром.

Более строго, бифуркационным (критическим) значением параметра \(\lambda\) называется такое его значение, при котором динамическая система становится негрубой (структурно-неустойчивой).

Понятие грубости динамической системы было введено А.А. Андроновым и Л.С. Понтрягиным. Динамическая система, представленная ДУ следующего вида

\

\

удовлетворяющих неравенству

\ < \delta } \]

существует такое взаимно однозначное и взаимно непрерывное отображение области в себя, при котором каждая траектория исходной (невозмущённой) системы отображается в соответствующую траекторию системы и обратно. При этом соответствующие друг другу точки находятся на расстоянии, меньшем \(\varepsilon \). Другими словами, грубыми являются такие динамические системы, у которых качественная структура фазовых траекторий не меняется при произвольном малом изменении правых частей исходного ДУ.

Для грубых динамических систем второго порядка выполняются следующие условия:

  1. в области \(G \subset {{\bf{R}}^2} \)могут располагаться только простые особые точки (состояния равновесия) типа «узел», «фокус», «седло», т. е. такие, для которых действительные части корней характеристического уравнения линеаризованной системы отличны от нуля. Такие особые точки (их конечное число) называются грубыми;
  2. в области \(G\) могут располагаться только простые предельные циклы, число которых конечно;
  3. в области \(G\) отсутствуют сепаратрисы, идущие из седла в седло. Возможно существование сепаратрис сёдел, в одну сторону стремящиеся к узлу, фокусу, предельному циклу или при некотором значении \(t\) выходящие из области \(G\).

При нарушении этих условий динамическая система становится негрубой.

В соответствии с теорией бифуркаций в пространстве координат и параметра из точки бифуркации могут исходить несколько ветвей решения уравнения равновесия

\

как устойчивых, так и неустойчивых. Графики зависимости координат положений равновесия от \(\lambda\) представляют собой бифуркационные диаграммы.

Простейшим примером бифуркации может служить следующая система

\

Рис. 1.1 — Временная характеристика системы при различных значениях бифуркационного параметра

Классификация

Бифуркации принято классифицировать по числу нарушений условий гиперболичности собственных значений матрицы

\

\

При этом возможны следующие типичные ситуации:

В общем случае, если необходимо удовлетворить \(k \) условиям нарушения гиперболичности, то возможные точки бифуркации будут располагаться на \((m — k)\) -мерной поверхности. Величину \(k \), определяющую количество условий нарушения гиперболичности, называют коразмерностью бифуркации. Разность между размерностью пространства и размерностью поверхности бифуркации представляет собой коразмерность поверхности.

Коразмерность бифуркации показывает, каким числом параметров должна определяться динамическая система, чтобы наблюдаемая в ней бифуркация была типичная. Другими словами, коразмерность бифуркации – наименьшая размерность пространства \(\Lambda \), в котором возможна бифуркация соответствующего типа. В дальнейшем для простоты понимания основных положений теории бифуркаций целесообразно ограничиться рассмотрением бифуркаций коразмерности 1, которые наблюдаются в однопараметрических системах. С бифуркациями более высокого порядка можно ознакомиться в специальной литературе.

Изучение распространённых типов бифуркаций производится на моделях первого и второго порядков, представленных определёнными ДУ. При этом в линеаризованных моделях возникает одно нулевое или два мнимых собственных значений матрицы Якоби.

2.1 Бифуркации в системах с простым движением

Негрубость системы означает негрубость тех или иных траекторий. Среди таких траекторий прежде всего выделяются устойчивые состояния равновесия и периодические движения, поскольку они являются математическим образом стационарных состояний и автоколебаний.

В настоящее время основные (коразмерности 1) локальные и глобальные бифуркации таких траекторий подробно изучены.

Устойчивое состояние равновесия может:

  1. исчезнуть, слившись с неустойчивым. В момент бифуркации у состояния равновесия, называемого седло-узел, только один характеристический корень лежит на мнимой оси и равен нулю.
  2. потерять устойчивость. При этом из состояния равновесия будет рождаться (влипать в него) устойчивое (неустойчивое) периодическое движение, если в момент бифуркации состояние равновесия устойчиво (неустойчиво). Эта бифуркация, объясняющая генерацию колебаний, носит название Андронова-Хопфа.

Устойчивое периодическое движение может:

Устойчивые периодические движения могут также рождаться в результате следующих глобальных бифуркаций:

В случае коразмерности 1 седловые периодические движения могут рождаться из траектории, идущей 1) из седла в него же, 2) из негрубого состояния равновесия типа седло-седло в него же при его исчезновении (такое состояние равновесия образуется при слиянии двух грубых седел.)

Все перечисленные бифуркации не выводят из класса систем с простым поведением траекторий.

2.2 Бифуркации в системах со сложным движением

Основным признаком системы со сложным поведением траекторий является существование грубого предельного множества, состоящего из траекторий седлового типа, в котором всюду плотны постоянные движения и есть всюду плотная траектория. Такие множества называются гиперболическими. Наиболее универсальный критерий существования таких множеств связан с гомоклинической орбитой Пуанкаре — двояко асимптотической траекторией к седловому постоянному движению, по которой его устойчивое и неустойчивое многообразия пересекаются без касания. Наличие такой структуры гарантирует существование в любой ее малой окрестности одномерного гиперболического множества, но неустойчивого. По этой причине бифуркации, связанные с появлением или исчезновением гиперболического множества, получили общее название гомоклинических. Другим типичным случаем систем со сложным поведением траекторий являются системы с гомоклиническими петлями седло-фокуса с положительной седловой величиной. Гомоклинические бифуркации подразделяются на два типа: граничные, объясняющие переходы от простой динамики к сложной, и внутренние. Характерным примером бифуркации 1-го типа, показывающим, что системы с простой и сложной динамикой могут быть разделены бифуркационной поверхностью, является бифуркацией исчезновения состояния равновесия типа седло-седло с не менее, чем двумя двояко асимптотическими траекториями, а также ряд бифуркаций систем с негрубой гомоклинической траекторией Пуанкаре. Однако такому переходу может предшествовать бесконечный каскад бифуркаций удвоения периода Шарковского-Фейгенбаума. Отметим также задачу о разрушении тора в связи с проблемой синхронизации.

В случае внутренних бифуркаций одной из основных задач является выделение в пространстве динамических систем областей негрубых систем. Впервые на это необычное явление было указано Смейлом в начале 60-х годов. Но наибольшую известность получили области Ньюхауса, в которых всюду плотны системы с негрубыми гомоклиническими траекториями Пуанкаре, имеющие постоянного движения любого порядка вырождения. Из этого следует вывод — для нелинейной динамики: полный качественный анализ моделей, допускающих негрубую гомоклиническую траекторию Пуанкаре, не реалистичен.

С открытием динамического хаоса в теории бифуркаций открылась новая глава, связанная с теорией странных аттракторов – притягивающих предельных множеств с неустойчивым поведением траекторий. В отличие, например, от постоянных движений, странные аттракторы не имеют унифицированной природы: они могут быть как многообразием (гладким или негладким), так и множествами с весьма сложной теоретико-множественной структурой. Исходя из интересов нелинейной динамики, от странных аттракторов требуется, чтобы они сохраняли свои свойства при малых возмущениях системы. Естественно, это так для гиперболических аттракторов. Но анализ ряда моделей показал, что таковыми могут быть и негрубые аттракторы. Характерным примером является странный аттрактор модели Лоренца \( \mathop x\limits^. = — \sigma (x — y),\mathop y\limits^. = — y + rx — xz,\mathop z\limits^. = — bz + xy\), негрубость которого обусловлена тем, что состояние равновесия типа седло принадлежит странному аттрактору. В размерности n>3 могут быть негрубые аттракторы, содержащие седло-фокус. Поскольку последние допускают гомоклинические касания, их (по выше приведенным причинам) принято называть «дикими». Понятно, что изучение бифуркаций, приводящих к возникновению странных аттракторов, стало одной из актуальных задач. Исторически эта проблема возникла в гидродинамике в связи с объяснением возникновения турбулентности. Именно в этой связи в 40-х годах Ландау и Хопф предложили такое объяснение на примере каскада бифуркаций торов с повышением их размерности. Гидродинамическое происхождение имеет и модель Лоренца. Здесь переход от простой динамики к странному аттрактору происходит в результате двух гомоклинических бифуркаций: граничной бифуркации гомоклинической восьмерки-бабочки седла, в результате которой рождается неустойчивое одномерное гиперболическое множество, и внутренней бифуркацией гомоклинического контура в момент, когда обе траектории, выходящие из седла, впервые устремятся к седловым постоянным движением, появившимся в результате граничной бифуркации. Однако такой, сравнительно простой сценарий, обусловлен тем, что модель Лоренца обладает симметрией \(( — x, — y) \to (x,y)\). Отметим также следующий результат, имеющий пока чисто математическое значение, — ряд гиперболических аттракторов (соленоид Смейла-Вильямса, аносовский тор), могут рождаться в результате глобальных бифуркаций, связанных с исчезновением седло-узловых постоянных движенй и торов. Помимо странных аттракторов во многих прикладных исследованиях встречаются предельные множества, которые можно назвать квазиаттракторами, поскольку в них, кроме гиперболических множеств, содержатся устойчивые постоянные движения, причем даже в счетном множестве. Подобная ситуация возникает, например, в трехмерных системах с отрицательной дивергенцией. В компьютерных исследованиях динамика модели в областях Ньюхауса может вполне ассоциироваться с хаотическим поведением траекторий, поскольку п.д. могут иметь весьма большие периоды и узкие области притяжения.

3.1 Понятие мягкой и жесткой потери устойчивости

Бифуркации условно можно разделить на мягкие и жёсткие, что наглядно демонстрируется следующим примером. На рис. 3.1 и рис. 3.2 изображён перестраиваемый профиль с шариком. В результате изменения какого-либо фактора (параметра), исходный профиль изменяет свою конфигурацию таким образом, что устойчивое равновесное состояние шарика теряется. При этом «рождаются» два новых устойчивых состояния равновесия, в один из которых и сваливается шарик. Вновь появившиеся состояния равновесия перестроившегося профиля располагаются в непосредственной близости от начального состояния равновесия, которое потеряло устойчивость. Бифуркации такого типа называют мягкими. Новый режим функционирования как бы постепенно появляется из режима, потерявшего устойчивость, и сосуществует рядом с ним.

Рис. 3.1 — перестраиваемый профиль с шариком

Характер перестроения профиля, изображённого на рис. 3.2, иной. Для значения параметра меньше критического шарик находится в устойчивом равновесном состоянии. Одновременно существует ещё одно потенциальное неустойчивое равновесное состояние. При перестроении профиля для критического значения параметра устойчивое и неустойчивое состояния сливаются в одно. Далее они оба исчезают, и система «скачком» выбирает новый режим, который существенно отличается от предыдущего и не находится в непосредственной близости от исходного режима. Бифуркации такого типа относятся к жёстким. Именно жёсткие (скачкообразные) бифуркации в первую очередь являются предметом исследования теории катастроф.

Рис. 3.2 — перестраиваемый профиль с шариком

Виды бифуркаций

В следующем разделе будут описаны основные виды и примеры бифуркаций как непрерывных, так и дискретных (отражений) функций.

4.1 Касательная (седло-узловая) бифуркация

Пример седло-узловой бифуркации рассмотрим на примере системы, описываемой д.у.:

\

Рис. 4.1 — Временная характеристика системы с касательной (седло-узловой) бифуркацией

Рис 4.2 — Диаграмма касательной (седло-узловой) бифуркации

4.2 Транскритическая бифуркация (бифуркация типа «обмен устойчивости»)

Бифуркацию типа «обмен устойчивости» продемонстрируем на системе

\

Рис. 4.3 — Временная характеристика системы с транскритической бифуркацией

Рис. 4.4 — Диаграмма транскритической бифуркации

4.3 Бифуркация «вилка»

Бифуркация типа «вилка» описывается ДУ вида

\

Рис. 4.5 — Временная характеристика системы с бифуркацией «Вилка»

Рис. 4.4 — Диаграмма бифуркации «Вилка»

Бифуркация типа «вилка» широко рассматривается в теоретической физике, поскольку на ней основываются некоторые теории, объясняющие спонтанное нарушение симметрии (устойчивая равновесная точка \(x_1^{\rm{}} = 0 \) при \(\lambda < 0\) отвечает симметричному состоянию, например, отсутствию намагниченности, а рождающиеся устойчивые точки равновесия \({x^{\rm{}}} = \pm \sqrt \lambda \) при \(\lambda > 0\) – состоянию с нарушенной симметрией). В частности, на этой бифуркации основана теория переходов II рода, предложенная Л. Д. Ландау. В ней чаще всего роль параметра \(\lambda\) играет отклонение температуры от критического значения, а величина \(x\) носит название «параметр порядка».
Рассмотренные бифуркации называются суперкритическими или нормальными. Их особенность заключается в том, что нелинейные члены \({x^2}\) и \({x^3}\) соответствующих уравнений оказывают влияние, способствующее получению устойчивых равновесных состояний системы. Однако при изменении знаков перед нелинейными членами, последние будут оказывать уже дестабилизирующее влияние на систему. В этих случаях возникают субкритические или обратные бифуркации.

4.4 Бифуркация Андронова – Хопфа (Hopf)

Кроме бифуркаций состояний равновесия в динамических системах при изменении параметра может происходить ещё одна перестройка структуры фазового портрета. Этот тип бифуркации рассматривает рождение предельного цикла из неподвижной точки и является более сложным, чем представленные выше.
Пусть нелинейная модель описывается следующим д. у.:

\

Уравнение представляет собой комплексный аналог бифуркации типа «вилка». С целью определения всех равновесных решений необходимо произвести замену комплексной переменной \(z \):

\

где \({x_1}\) и \({x_2}\) новые вещественные переменные.

В результате подстановки \(z \) в исходное ДУ получается система из двух уравнений первого порядка:

\{x_1} — \eta {x_2}\\
{{\dot x}_2} = {x_2} + \eta {x_1}
\end{array}\]

Таким образом, здесь осуществлён переход к модели второго порядка с вещественными параметрами. Полученные уравнения связаны между собой через комплексную переменную \(z \) и имеют следующие два стационарных решения:

\

Рис. 4.5 — Фазовый портрет системы с бифуркацией Андронова – Хопфа

4.5 Бифуркации циклов

Образование в динамических системах второго порядка предельных циклов – соответствует бифуркации Андронова–Хопфа. Так, для модели, представленной системой ДУ

\

Рис. 4.6 — Фазовый портрет системы с бифуркацией циклов

4.6 Бифуркация удвоения периода

Теперь рассмотрим бифуркации отражений. Одномерное отображение – это простейшая модель эволюционного процесса, когда состояние системы характеризуется единственной переменной, а время – дискретно. Примером может служить динамика численности биологической популяции, если наблюдение за ее численностью производится, например, один раз в год.

Простейшей моделью, описывающей бифуркацию удвоения периода, может служить логистическое отображение

\

Его неподвижные точки ищутся из решения соответствующего квадратного уравнения #\({x_0} = 1 — \lambda x_0^2\), так что

\

При \(\lambda = -0.25\) имеет место касательная бифуркация, в результате которой возникают неустойчивая и устойчивая точки.

Построим бифуркационную диаграмму (Рис. 4.7) с помощью команды математического пакета Maxima:

Lisp

1 2 load(dynamics); orbits(1-c*x^2,0,1,10,,,);

Рис. 4.7 — бифуркационная диаграмма системы (4.5)

Также изменения поведения системы можно увидеть, построив итерационные диаграммы системы (Рис. 4.8):

Lisp

1 2 3 staircase(1+0.1*x^2, 0, 5, ); staircase(1+0.25*x^2, 0, 5, ); staircase(1+0.5*x^2, 0, 5, );

Рис. 4.8 — итерационные диаграммы системы

Источники

Страницы ← предыдущая следующая → 1 2 3 4 5 Тогда получаем, что неподвижные точки отображения (3) имеют следующие координаты: x0 = ± a . Рис.4. Вид потенциальной функции (18) до порога бифуркации (а), в точке бифуркации (б) и за ней (в) Из вида потенциала (рис.4) легко понять, что точка x0 = a соответствует потенциальному максимуму и поэтому неустойчива, а точка x0 = − a соответствует минимуму, и поэтому устойчива. При a = 0 неподвижные точки сливаются (рис.4б) и исчезают (рис.4а). Проведем теперь формальное исследование устойчивости неподвижных точек и их бифуркаций, которое подтвердит наши соображения. Представим уравнение осциллятора в стандартном для динамической системе виде: x = y, & (19) y = − γy − a + x 2 . & Приравнивая нулю производные по времени, получаем выражение для нахождения координат неподвижных точек: y = 0, γy + a − x 2 = 0. Откуда получаем: x0 = ± a и y = 0 . Для анализа устойчивости полученных неподвижных точек запишем для рассматриваемого осциллятора (19) матрицу линеаризации: ⎛ 0 1 ⎞ M =⎜ ⎜ 2x ⎟. ⎝ 0 − γ⎟ ⎠ Теперь находим след и якобиан этой матрицы: S = − γ и J = −2×0 . (20) Анализ типа неподвижной точки можно провести, используя плоскость след-якобиан матрицы М (рис.5). Тип неподвижной точки будет 30 определятся тем, в какую область этой плоскости попадает точка, заданная координатами S = − γ и J = −2×0 . Рис.5. Различные типы неподвижных точек на плоскости след S — якобиан J 2 матрицы линеаризации. Граница между узами и фокусами дается уравнением J = S . 4 Таким образом, для того, что бы определить тип неподвижной точки, надо в выражения для следа и якобиана матрицы М подставить ее координаты в выражения (20). Для первой неподвижной точки ( x0 = + a и y = 0 ) имеем J = −2 a и S = − γ . Таким образом, якобиан для этой точки всегда отрицателен, и в соответствии с рис.5, это седло. Для второй неподвижной точки ( x0 = − a и y = 0 ) имеем J = 2 a и S = − γ < 0 . Таким образом, в соответствии с рис.5, эта точка является 2 устойчивой. Причем при J < S это узел, а при противоположном 4 условии – фокус. В нашем случае точка будет устойчивым узлом при выполнении условия a<γ 2 . 8 При этом при a=0 этот устойчивый узел сливается с седлом (неустойчивая неподвижная точка), и происходит бифуркаций седло-узел. Ее формальным критерием является равенство нулю якобиана матрицы М. Тогда прировняв нулю значение якобиана для неподвижной точки (в данном случае не важно какой) получим a=0. Это и есть условие седло- узловой бифуркации 31 4. Перепишем уравнение (4) в стандартной форме: x = y, & (21) y = (λ − x 2 ) y + x − β x 3 . & Найдем неподвижные точки рассматриваемой системы. Для этого приравняем нулю производные по времени в системе (21) и решим полученные уравнения. Тогда получаем, что система (21) имеет три неподвижных точки: 1 ( y = 0, x = 0 ) и ( y = 0, x = ± ). β Выпишем теперь матрицу линеаризации системы (21). Она имеет вид: ⎛ 0 1 ⎞ M =⎜ ⎜1 − 3βx 2 ⎟. ⎝ λ − x2 ⎟ ⎠ Соответственно, след и якобиан этой матрицы будут S = λ − x2, (22) J = −1 + 3βx 2 . Известно, что условие для нахождения бифуркации Андронова-Хопфа имеет следующий вид: S = 0, (23) J > 0. Таким образом, для того, что бы ответить на вопрос, для каких неподвижных точек рассматриваемой системы наблюдается бифуркация Андронова – Хопфа и найти условие, при которых она происходит, надо подставить координаты неподвижных точек в выражения (22) и проверить их на выполнение условий (23). Начнем с первой неподвижной точки ( y = 0 , x = 0 ). Согласно формулам (22) след и якобиан для этой неподвижной точки будут: S = λ, J = −1 . Поскольку якобиан отрицательный, то условие бифуркации Андронова- Хопфа выполнено быть не может. Соответственно для этой неподвижной точки бифуркация Андронова-Хопфа не наблюдается. Теперь рассмотрим две оставшиеся неподвижные точки ( y = 0 , 1 x=± ). Для них получаем β 32 1 S =λ− , β J = 2. Из полученных равенств следует, что условие J > 0 выполняется всегда. Следовательно, надо проверить выполнение условия S = 0 . Приравнивая 1 нулю след, находим, что для неподвижных точек ( y = 0 , x = ± ) β бифуркация Андронова-Хопфа происходит при выполнении условия: 1 λ= . β 5. Уравнение осциллятора (5) может быть переписано в следующем виде ∂U ( x ) && − (μ − x ) x + x & = 0, (24) ∂x где потенциал задан кубическим полиномом, показанным на рис.6. Таким образом, в системе должна иметь место бифуркация седло-узел, отвечающая слиянию максимума и минимума потенциала. С другой стороны, при μ > 0 осциллятор характеризуется отрицательным трением, т.е. имеются предпосылки для возникновения автоколебаний и бифуркации Андронова-Хопфа. Рис.6. Вид потенциала U (x ) , входящего в уравнение (24). Проведем соответствующий бифуркационный анализ. Перепишем уравнение осциллятора Богданова-Такенса (5) в стандартной форме: x = y, & (25) y = (μ − x ) y − a + x 2 . & и запишем для него матрицу линеаризации: ⎛ 0 1 ⎞ M =⎜ ⎜ − y + 2 x μ − x ⎟. ⎟ ⎝ ⎠ Неподвижные точки этой системы находятся их условия равенства нулю производных от времени динамических переменных x и y. Тогда согласно 33 уравнениям (25) осциллятор Богданова-Такенса имеет две неподвижные точки x = ± a , y = 0. Первая из них (отвечающая знаку +), в соответствии с рис.6в, неустойчива, а вторая – устойчива. Для последней тогда имеем ⎛ 0 1 ⎞ M =⎜ ⎜− 2 a ⎟. ⎝ a + μ⎟ ⎠ Находим далее след и якобиан этой матрицы. Они равны: S = a + μ, (26) J = 2 a. Условием бифуркации седло-узел является обращение в ноль якобиана матрицы М. Из выражений (26) следует, что это условие выполняется при a = 0. Условия на бифуркацию Андронова-Хопфа имеют следующий вид S = 0, J > 0. Тогда из (26) следует, что бифуркация Андронова – Хопфа имеет место при μ=− a. (27) При этом условие положительности якобиана выполняется при любых значениях параметра a. Теперь найдем общую точку обеих бифуркаций. Для этого положим в выражении (27) a равным нулю. Тогда получим, что μ = 0 . Таким образом, общая точка двух бифуркаций, отвечающая бифуркации Богданова-Такенса, на плоскости параметров имеет координаты μ = a = 0 . В этой точке обращаются в ноль одновременно и след, и якобиан линеаризованной матрицы, что может служить удобным приемом при определении точек Богданова-Такенса в конкретных системах. На рис.7 показаны линии основных бифуркаций коразмерности один в окрестности точки бифуркации Богданова-Такенса и фазовые портреты системы (5) в избранных точках. Можно видеть характерные для точки Богданова-Такенса метаморфозы фазового портрета системы. Отметим, что наряду с описанными локальными бифуркациями для такой системы оказывается типичной и нелокальная бифуркация влипания предельного цикла в петлю сепаратрисы. 34 Рис.7. Бифуркационные линии осциллятора в окрестности точки Богданова-Такенса BT на плоскости параметров ( μ , a) и фазовые портреты в характерных точках, AH – линия бифуркации Андронова-Хопфа, SN – линия бифуркации седло-узел, G – линия влипания предельного цикла в петлю сепаратрисы 6. Исследуем свойства отображения (6). Во-первых, найдем неподвижные точки этого отображения. Они находятся из условия xn +1 = xn и y n +1 = y n . Тогда из формул (6) следует что x = x + εy и y = y + ε . Решим последние уравнения и получим, что рассматриваемое отображение имеет две неподвижные точки x = ± a и y = 0. При этом одна из них будет устойчивой, а вторая неустойчивой. (Это будет показано далее при анализе матрицы возмущений.) Выпишем теперь матрицу возмущений (матрицу монодромии) для отображения (6). Она имеет вид: ⎛ ⎞ M = ⎜1 + ε ( − y + 2 x ), ε + ε (μ − x ) ⎟ . 2 2 ⎝ ε( − y + 2 x ), 1 + ε( μ − x ) ⎠ Далее запишем след и якобиан этой матрицы 35 S = 2 + ε(μ − x ) + ε 2 ( 2 x − y ), (28) J = 1 + ε(μ − x ). Для определения устойчивости неподвижных точек двумерного отображения и нахождения их бифуркаций необходимо знать собственные числа матрицы монодромии (мультипликаторы). Из свойств матрицы 2×2 известно, что собственные числа подчиняются соотношению μ 2 − Sμ + J = 0 . Откуда следует, что S S2 μ 1, 2 = ± −J . (28) 2 4 (Замечание: не надо путать μ в формуле (28) с параметром μ в отображении.) Таким образом, зная след и якобиан, легко определить тип устойчивости неподвижных точек и найти условия всех локальных бифуркаций. Начнем с определения устойчивости неподвижных точек отображения. Подставим в выражения (28) их координаты и получим, что для неподвижной точки ( x = a , y = 0 ) след и якобиан есть S = 2 + ε ( − a + μ ) + 2ε 2 a и J = 1 + ε ( − a + μ ) , а для неподвижной точки ( x = − a , y = 0 ) – S = 2 + ε( a + μ) − 2ε 2 a и J = 1 + ε( a + μ) . (29) Теперь подставим выражения для следа и якобиана матрицы монодромии, вычисленные в неподвижных точках, в формулу (28) и получим что неподвижная точка ( x = a , y = 0 ) является неустойчивой, а неподвижная точка ( x = − a , y = 0 ) — устойчивой. Анализ бифуркаций двумерного отображения удобно выполнить, используя плоскость параметров след – якобиан матрицы монодромии. Устройство этой плоскости в общем случае показано на рис.8. На нем представлен треугольник устойчивости неподвижной точки двумерного отображения, границы которого, в общем случае, заданы линиями 1 − S + J = 0 ( μ = +1 ), 1 + S + J = 0 ( μ = −1 ) и J = 1 ( μ = 1 ). Таким образом, для устойчивой неподвижной точки двумерного отображения имеют место три бифуркации коразмерности 1 на границах треугольника устойчивости: касательная бифуркация ( μ = +1 ), бифуркация удвоения периода ( μ = −1 ) и бифуркация Неймарка-Сакера ( μ = 1 ). А так же три бифуркации 36 коразмерности 2 в вершинах треугольника: μ 1 = −1 и μ 2 = −1 (резонанс 1:2), μ 1 = +1 и μ 2 = +1 (резонанс 1:1) и μ 1 = −1 и μ 2 = +1 (fold-flip бифуркация). Рис.8. Треугольник устойчивости неподвижной точки двумерного отображения на плоскости след S — якобиан J матрицы монодромии. Серым цветом обозначена область, к которой мультипликаторы неподвижной точки принимают комплексные значения. Исследуем перечисленные выше бифуркации более подробно. Начнем с бифуркация коразмерности 1. Бифуркация Неймарка-Сакера. Это бифуркация рождения инвариантной кривой. Она имеет место при пересечении верхней границы треугольника устойчивости. Условие для нахождения этой бифуркации есть J = 1 . Тогда в соответствии с формулами (29) получаем, что бифуркация Неймерка-Сакера происходит при μ = − a . Таким образом, условие бифуркации Неймарка-Сакера не зависит от параметра дискретизации ε . Касательная бифуркаций. Эта бифуркация имеет место, когда хотя бы один из мультипликаторов неподвижной точки становиться равным плюс единице. Соответственно она имеет место при выходе из треугольника устойчивости через его правую границу. Условие для нахождения этой бифуркации имеет вид 1− S + J = 0 . Подставив в это уравнение выражения для следа и якобиана (29) получим, что касательная бифуркация имеет место при a = 0 . Это полностью соответствует бифуркации седло-узел в осцилляторе-прототипе. Бифуркация удвоения периода. Этой бифуркации отвечает значение одного из мультипликаторов, равное минус единице. Соответственно она имеет место при выходе из треугольника устойчивости через его правую границу. Условие для нахождения этой бифуркации имеет вид: 37 1+ S + J = 0 . Тогда используя (29) получаем 2 + ε( a + μ ) − ε 2 a = 0. Теперь рассмотрим бифуркации коразмерности 2. Резонанс 1:2. Этой бифуркации отвечают следующие значения мультипликаторов μ 1 = −1 и μ 2 = −1 (левая верхняя вершина треугольника устойчивости). Или другими словами это общая точка линий бифуркации удвоения периода и бифуркации Неймарка-Сакера. Т.е. она имеет место при одновременном выполнении условий 1+ S + J = 0 и J = 1. Тогда использую соотношения (29) получаем 2 4 μ=− , a= 4. ε 2 ε Бифуркация fold-flip. Этой бифуркации отвечают следующие значения мультипликаторов μ 1 = −1 и μ 2 = +1 . Т.е. она происходит в точке пересечения линий касательной бифуркации и бифуркации удвоения периода (нижняя вершина треугольника). Для ее нахождения надо решить следующую систему 1− S + J = 0 и 1+ S + J = 0 . Тогда используя выражения (29) получаем, что она имеет место при 2 μ = − , a = 0. ε Резонанс 1:1. Эти бифуркации отвечают значения мультипликаторов μ 1 = +1 и μ 2 = +1 (правая верхняя вершина треугольника). Т.е. это точка пересечения линий касательной бифуркации и бифуркации Неймарка- Сакера. Она имеет место при совместном выполнении условий 1− S + J = 0 и J = 1. Тогда используя (29) получаем, что эта бифуркация происходит в точке μ = 0, a = 0 . На рис. 8 представлена полученная численно карта динамических режимов отображения (6) на плоскости параметров (a, μ) и ее увеличенные фрагменты. Параметр дискретизации ε = 0,8 . На ней можно видеть найденные выше аналитически линии и точки бифуркаций. Это линия бифуркации Неймарка-Сакера с примыкающей к ней системой языков Арнольда в правой части карты. В левой части карты располагаются линии 38 бифуркаций удвоения периода на базе неподвижной точки. Так на карте хорошо различимы области режимов периода 1, 2 и 4. На этом рисунке так же наблюдаются точки бифуркаций коразмерности два: fold-flip и резонанс 1:1. Точка резонанса 1:2 располагается очень «высоко» и при выбранных масштабах в поле зрения не попадает. Рис.8 можно сравнить с бифуркационными линиями системы-прототипа на рис.7. Отметим, что между иллюстрациями наблюдается хорошое соответствие, что говорит о достаточно высокой работоспособности двумерного отображения как аппроксимации осциллятора Богданова- Такенса. Так линия бифуркации Неймарка-Сакера точно совпадает с линией бифуркации Андронова-Хопфа, а касательной бифуркации – бифуркацией седло-узел. Точка резонанса 1:1 совпадает с точкой Богданова-Такенса. Однако есть и ряд отличий. Главное из них состоит в том, что для отображения (6) наблюдаются квазипериодические режимы и языки Арнольда, опирающихся основаниями на линию Неймарка-Сакера. Для исходной потоковой системы в этой области наблюдался предельный цикл. Кроме того в нем наблюдается серия бифуркаций удвоения периода и бифуркации коразмерности 2: fold-flip и резонанс 1:2, которых нет в системе-прототипе. Однако, при уменьшении параметра дискретизации область квазипериодических режимов «вытесняет» языки синхронизации, а точки бифуркаций fold-flip и резонанс 1:2 при этом уходят на бесконечность. Как следствие при ε → 0 происходит переход к картине, характерной для системы-прототипа. Рис.8. Карта динамических режимов двумерного отображения (6) и ее увеличенные фрагменты. Буквами обозначены: NS – бифуркация Неймарка-Сакера, SN – касательная бифуркация, PD – линии удвоения периода, Q – область квазипериодических режимов, D – область убегания фазовых траекторий на бесконечность. Цифрами обозначены периоды циклов. 39 Страницы ← предыдущая следующая → 1 2 3 4 5

Оставьте комментарий